第二次更新--2019年1月21日：解决分式型求极限，泰勒公式的阶数到底怎么定？（2.0版本解读）

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下面正文内容是对该知识点的第一次解读（建议读者阅读完以下内容后，再阅读2.0版本解读，2个解读侧重点不一样，4道例题最好手抄下来，读后再仔细体会）：

1.0版本解读：

利用泰勒公式求极限上，我们不是随随便便展开泰勒公式的，所有的一切操作手法，都是有相应的规律作为指导！

什么规律？

先别急，先看看童鞋们在后台求助我问题，你也可以试着判断下做得对不对哦~

1 两个求助的问题

求助1的问题：

求助2的问题：

两道题，为什么都错误了呢？

泰勒泰勒，你是怎么了？我用了你，你咋还没给我解决出问题呢？

不要怪人家泰勒，凡事出了问题，先从自己身上找原因，别轻易就找被人茬.

你为什么错了呢？

因为你泰勒公式展开的项数有问题，或者说，你泰勒公式展开的精确度不够！

在考研这场应试教育路线上，我们需要掌握的泰勒公式有如下5组，宝刀君做了简单的分类，如下：

上面的公式，大部分同学都会背，尤其是随着业内“狗-sin狗=1/6乘以狗的立方”理论的盛行，同学们背的更是不亦乐乎。

但问题是，会背不顶用，做题时怎么用才是关键啊！

针对这个泰勒公式，一个很现实的问题是：当我拿到一道题目时，我怎么确定要将这个式子展开到第几阶呢？？？

所有的极限题目，要么是乘除，要么是加减，无外乎这两种，因此，这里介绍两种展开规则：“分式上下同阶”原则和“加减幂次最低”原则。

2 分式上下同阶原则

“分式上下同阶”原则是说，如果分母（或分子）是x的k次方，则应该把分子（或分母）展开到x的k次方。

简单说就是，假如你分子是4阶的，x的4次方，那么我就要把分母中的那个式子展开到第4阶。

举个例子，比如下面这道题（务必仔细、认真的看分析）：

“分式上下同阶”原则适用于分式“A/B 型”，也就是在分式求极限中用的比较多。

3 "加减幂次最低"原则

“加减幂次最低”原则是说：将A、B分别展开到它们的系数不相等的x的最低次幂为止。

简单说，两个泰勒式子相减呢，你就展开到它俩具有相同的幂次数就可以啦，而且这个幂次数是第一次出现的。

举个例子吧，比如下面这个例题：

“加减幂次最低”原则适用于“A-B型”，也就是求加减的时候用的比较多。

至此，介绍了上面的两个利用泰勒公式求极限时 阶的展开规则后，上面这两道求助的题目是不是就可以顺利的迎刃而解呢？？？

求助1问题的正确解答如下：

当然，你这里也可以这样来理解，因为分母中有（x-2）这一项，2是个常数，那么你e的x次方函数在展开时，就应该展开到x的立方项，这样人家和2乘起来，才算是分子中完整的x立方项大家族大集合。

求助2的正确解答如下：

宝刀君，宝刀君，我不服，你这个例2为啥不将e^x展开到3阶，不是说好了和分母同阶，一起携手闯荡江湖吗？？？你怎么退缩到2阶了？？？

咳咳咳，观察的还挺仔细，我来告诉你为啥第二个不展开到3阶吧。

回复：仔细对比求助1和求助2，求助1中，e^x后边乘的是（x-2），这里有个常数2，所以常数2和e^x展开式中的x^3的相乘不能忽略，而求助2中，e^x后边乘的是sinx，而sinx展开式中可没有常数项，sinx是从x开始的，任何一项和e^x的3阶项相乘都会扩大阶数，扩大的比分母都还大，这就多余喽，因此 求助2中，只需要把e^x展开到2阶即可。

综上，面对不同的对象，我采取不同的展开措施，这就叫活学活用~

4 总结

利用泰勒公式求极限时，阶的展开规则应该遵循两种展开规则：“分式上下同阶”原则和“加减幂次最低”原则。

如果想看这篇文章的趣味性解读版本的，可以点击这个链接：

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