切比雪夫不等式，描述了这样一个事实，事件大多会集中在平均值附近。

比如，假设中国男人平均身高1.7m，那么不太可能出现身高17m的巨人。事实上我们从来没有见过这种“怪物”。

下面结合一个热门话题：“年薪百万”来讲解一下。

站在知乎一眼望去，似乎年薪百万的人到处都是，而且经常有人会提出“怎样才能年薪百万”这样的问题。

我们从数学的角度来解答一下，年薪百万难不难？

1 马尔科夫不等式

切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况，所以我们先来看看马尔科夫不等式。

1.1 马尔科夫不等式与直观感受

马尔科夫不等式是这么写的（本文代数只讨论离散的情况）：

{\displaystyle P (X\geq a)\leq {\frac{E (X)}{a}}}\\

其中 X \geq 0 。

我们通过 \mu =1.3,\sigma =0.25 的正态分布解释下，首先， P(X\geq a) 就是指的是曲线下X\geq a 部分的面积：

来感受一下马尔科夫不等式：

可见，越大于平均值，概率越低。

1.2 马尔科夫不等式与年薪百万

看看这个怎么去计算百万年薪的概率。

我随便搜索了下，查到以下数据：

人均收入的标准差，我确实查不到。至少免费的我没有查到，有哪位同学知道望告知。

咱们就用上面的数据近似一下，粗糙的认为：

好，开始我们的计算。根据马尔科夫不等式：

{\displaystyle P (X\geq 1000000)\leq {\frac{51350}{1000000}}}\approx 5.14\% \\

也就是说，最多在20个人中有一个。

全国985院校的录取率是低于 5\% 的，看起来似乎基本上能进入985，就能年薪百万（如果我们认为收入和教育程度正相关的话）。

是吗？似乎看起来比例比我想象的更高啊。

1.3 马尔科夫不等式的证明

证明的方式很多，我找了一种我觉得容易理解的方式，不过不是很严格，大家权且当作一种证明思路的说明吧。

试证： 0">{\displaystyle P (X\geq a)\leq {\frac{E (X)}{a}}}\quad X\geq 0,a > 0

下面的证明虽然是用正态分布来演示的，但是实际是与分布无关的。

之前我们说过， P(X\geq a) 就是指的是曲线下 X\geq a 部分的面积：

要扩大这部分面积很简单，就是让曲线 X\geq a 的部分变得“高”一些，至于 X < a 的部分嘛，怎么变化完全没有关系，反正这部分和计算面积没有关系：

很显然， P(X\geq a) 是小于扩大后的面积的。

通过什么数学方式让 X\geq a 的部分变得“高”一些呢？

根据下图：

我们很容易得到：

\left. \begin{aligned} X \geq 0\\ X\geq a \end{aligned} \right\} \implies \frac{X}{a} \geq 1 \\

那问题就很简单了，乘上 \frac{X}{a} ：

P(X\geq a)=\int _ a^{+\infty }f(x)dx \leq \int _ a^{+\infty }\frac{X}{a}f(x)dx\\

根据期望的定义有：

E(\frac{X}{a})=\int _{-\infty }^ a\frac{X}{a}f(x)dx + \int _ a^{+\infty }\frac{X}{a}f(x)dx\\

显然：

\int _{-\infty }^ a\frac{X}{a}f(x)dx \geq 0\\

因此有：

P(X \geq a) \leq \int _ a^{+\infty }\frac{X}{a}f(x)dx \leq E(\frac{X}{a})\\

综上，得到要证的目标：

P(X \geq a) \leq E \left( \frac Xa \right) = \frac{E(X)}{a} \\

其中 X \geq 0 。

2 切比雪夫不等式

切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况，而且还有进一步的关系：这两个不等式的作者是师生关系。

安德雷·马尔可夫

马尔科夫不等式是以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名的。

巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫

而切比雪夫不等式是以马尔科夫的老师巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫命名的。

2.1 切比雪夫不等式与直观感受

切比雪夫不等式是这么写的：

P(|X-\mu | \geq k\sigma ) \leq \frac1{k^2}\\

其中 0">k > 0 ， \mu 是期望， \sigma 是标准差。

我们还是通过 \mu =1.3,\sigma =0.25 的正态分布来感受一下切比雪夫不等式：

可见，越远离平均值，概率越低。

2.2 切比雪夫不等式与年薪百万

根据之前的数据，我们来算下切比雪夫认为年薪百万的概率是多少？

P(|X-51350| \geq 21\times 44000) \leq \frac1{21^2}=0.22\% \\

晕倒，切比雪夫认为最多只有千分之二的概率，比之前大大降低。

应该说切比雪夫不等式预测的准确率要远远高于马尔科夫不等式。

2.3 切比雪夫不等式的证明

马尔科夫不等式是这样的：

{\displaystyle P (X\geq a)\leq {\frac{E (X)}{a}}}\\

我们把 |X-\mu | 代入：

a)\leq {\frac{E(|X-\mu |)}{a}}}\\">{\displaystyle P (|X-\mu | > a)\leq {\frac{E(|X-\mu |)}{a}}}\\

很显然等价于：

{\displaystyle P((X-\mu )^2 \geq a^2) \leq \frac{E((X-\mu )^2)}{a^2}=\frac{\sigma ^2}{a^2}}\\

令 k=\frac{a}{\sigma } ，容易得到 0">k > 0 ：

{\displaystyle P(|X-\mu | \geq k\sigma )\leq \frac{1}{k^2}}\\

3 总结

如果我们把人群的收入分布计算出来，我估计应该是个正态分布，那么年入百万的概率就更低了，知乎有人算出来是 万分之四 。

所以马尔科夫不等式、切比雪夫不等式只是对概率的一个估计，有可能不是很准确，但总比瞎想要准确。

百万年薪固然很难，但是根据 贝叶斯定理 ，或许增加一些条件，可以大大增加概率：