我们今天来一起讨论一下圆周运动的物理过程，尝试建立匀速圆周运动的函数，并从中体会科学研究的基本过程。

对于一个物体来说，比如一个小球（可以抽象成一个质点）在不受任何外力的情况下，它会保持静止或者匀速直线运动状态。如果有外力作用在这个球上，小球的速度将发生改变，如果外力的方向与小球的运动方向平行，小球将加速或者减速，这就是我们前面一起讨论的直线运动。如果小球受到的力是一直垂直于运动方向的力，那么小球运动的轨迹将会是一个圆形，这就是我们今天要探讨的圆周运动。

图1 地球和金星绕日圆周运动

圆周运动中，小球受到的外力的方向一直都与小球的运动方向垂直，并且是指向圆心的。我们称这个力为向心力。圆周运动在我们的宇宙和自然界中是非常普遍的，身边随处可见，比如，太阳系内的行星绕太阳的公转、卫星绕行星公转的运动都是圆周运动，万有引力提供了这种天体运动的向心力。我们生活中的车轮、游乐场里的摩天轮、农村的水车、磨盘实在是太多圆周的例子了。

那么小伙伴们一定会好奇，究竟是哪些参数会影响到这些圆周运动中的力呢？

对于一个给定的做圆周运动的物体来说，如果速度不同，那么力也会不同。如果我们改变这个物体的运动半径，那么它所受到的外力也会改变。现在一起来研究一下这个力，我们当然可以花几个小时，尝试推导一下圆周运动的方程。但是相比之下，更好的方法就是选择做实验或者是去生活中观察。

图2 游乐场飞天转椅

咱们一起来到游乐场，一起观察一下飞天转椅的运动情况（见图2）。我们会发现，随着转椅的慢慢启动，速度的增加，转椅的倾角越来越大，不管椅子上有没有坐人，只要速度是一样的，椅子的倾角都一样。这说明，重力与向心力的比值是相同的。换句话说，向心力与球的质量成比例，同时，速度越大偏移量越大，因此更快的速度就需要更大的力。

我们再观察一下其他的情况，看看摩托车场地追逐塞场上的情况。通过观察我们可以发现，在选手之间车速相同的情况下，弯道内侧的选手车身的倾角更大，这意味着，在弯道内侧（转弯半径小）的选手需要更大的向心力。这就是说，半径越小，向心力越大。这里我们就不做推导，直接给出向心力的公式：F=mv^2/r。（见图3）

图3 摩托车场地竞速转弯场景

匀速圆周运动

质点作圆周运动时，如果在任意相等的时间内通过的弧长相等，即在任意时刻质点的速率都相等，这种运动称为匀速率圆周运动，简称为匀速圆周运动。

现在我们拿来一个半径为R的圆盘（图4），让它绕着圆盘的中心O点转动，圆盘上半径为r的质点在相同的时间间隔Δt内转过的弧长Δs都相等；圆盘上不同半径的质点在相同的时间间隔Δt内转过的弧长Δs都不等。所以半径相同的质点的速率相等，而半径不同的质点速率不同，但它们在相同的时间间隔Δt内转过的圆心角Δθ是相等的，所以我们有Δθ/Δt=常数。当Δt为无限小的时候，Δθ/Δt=常数。这个值在物理学上被称为角速度，用希腊字母ω来表示。

图4 匀速圆周运动的圆盘

ω的大小表示每秒转过的角度，单位是弧度每秒，以rad/s表示。不过日常生活中常说的转速n，通常都是指每分钟转多少圈(r/min)，它与角速度ω的换算关系是：ω(rad/s)= 2πn/60(r/min)。由圆弧Δs与圆心角Δθ的关系Δs=rΔθ，可得速率与角速度的关系为：v=ωr。转盘上每点角速度相同，质点到圆心的距离越大速率越大。

质点在作匀速圆周运动时，虽然速度的大小不变，但速度的方向时刻都在变化，所以匀速圆周运动是变速运动，也有加速度，这种由方向变化引起的加速度称为向心加速度或法向加速度，其大小为：a=v^2/r=ωr^2。

【思维拓展】如果质点的角速度ω也是随时间变化、为描写质点的非匀速率圆周运动，我们应该再引入一个怎样的物理量呢？

图5 过山车经过圆周运动的定点

【划重点】喵小咪通过本文想向各位传递的是一种科学研究的方法。

现在，我们一起来总结一下前面探讨圆周运动的过程究竟是适用了哪些科学研究的方法：

首先，我们一起观察了客观存在的现象。

在圆周运动里，我们找到的是游乐场的空中转椅和摩托车场地竞速。然后找到了，产生这种现象的相关因素：速度、圆周半径、质量。通过观察，找到了这些量之间的关系。在科学研究中，最重要的就是首先要有可以客观存在，可观察的现象。客观存在，是科学研究的对象，那些不能客观存在的东西，是不能成为科学研究的话题的。比如上帝到底是否存在这样的话题是永远都不会成为科学研究的对象的。

图6 做圆周运动的水车

其次，我们根据观察到的现象使用了逻辑推理。

观察完现象之后，我们采用了逻辑推理的方式，对现象进行了归纳总结。在本文中，我们根据现象推测出来向心力的公式F=mv^2/r。归纳总结逻辑推理是科学中的重要手段。

再次，我们采用了数学方法对整个运动过程进行了描述。

科学研究的一个重要过程就是要建立定量分析。在圆周运动过程的探讨中，我们通过观察现象，和逻辑分析，并且最后利用数学工具对最简单的匀速圆周运动进行了数学描述。有了数学描述，我们就可以知道任意时刻，做圆周运动的质点的运动状态做出定量分析。

这也可以说是给圆周运动的具体状态给出了可以测量的预言。这就是我们说的，科学验证的方法。如果在今后的实验当中，我们的测量值，跟我们的理论计算值出现了明显的偏差，我们就需要重新去看自己的圆周运动理论是不是有问题。天王星的发现，正是因为理论计算值和观测值不符合才做出的理论预言，这是科学验证方法的最真实的案例。

图7 火车弯道前进受力分析示意图

总结

本文从圆周运动的探讨入手，详细介绍了科学研究的几个重要步骤：观察测量、逻辑分析、数学描述、理论预言、实验验证的全过程。《喵小咪物理日记》虽然只是一本写给中学生看的物理入门系列文章，但是老郭将在后面的文字里不断强调科学研究的过程，提高全民科学素质，就从最基础开始。知识点固然重要，但是科学素质更重要。